토러스 기하학에 얽힌 신비

 

 

[새 한 마리가 살고 있었다. 그 새는 마법의 새장에 갇혀 있었는데, 새가 노래를 하면 새장의 창살이 울려 일곱 가지 음계를 내었고, 새가 날갯짓을 하면 역시 창살이 울려 일곱 가지 무지개 색을 내었다. 새장 안에는 중앙을 가로질러 횃대가 하나 놓여 있는데 신기하게도 항상 소용돌이를 치고 있었다. 새는 언제나 그 횃대에 앉아 있었다.

 

그러나 아무도 그 새를 본 사람은 없었다. 그 새의 이름은 4차원이다.]

 

엄청난 含意(?)을 담고 있는 토러스 매듭

 

 

만물의 궁극은 무엇으로 이루어져 있을까? 우주와 자연에 작용하는 가장 근본적인 섭리는 무엇일까? 

 

통일장이론이란 한마디로 말하면 '모든 것을 설명하는 이론'(Theory of Everything)이다. 그렇다면 이 이론은 하나의 이론이라야 한다. 그래야만  이것이 궁극적인 최상의 이론이라고 할 수 있다. 왜냐하면, 2개이상이 존재하면, 모든 것을 설명하는 것이 아니기 때문이다. 

 

과연, 이러한 이론은 존재할 수 있는 것일까?

 

1970~80년대 이후 미국 칼텍의 이론물리학자 존 슈바르츠와 영국 퀸 메리 대학의 마이클 그린 등이 발전시킨 초끈이론(Superstring Theory)에서는 만물의 궁극을 끈과 같은 형태라고 본다. 즉 우주의 만물은 소립자나 쿼크와 같은 기존의 단위보다도 훨씬 작은 구성요소인 ‘진동하는 가느다란 끈’으로 이루어져 있다고 생각하는 것이다. 

초끈이론이 각광을 받고 있는 중요한 이유 중의 하나는, 그것이 우주와 자연의 모든 원리를 통합하여 설명하는 이른바 ‘만물의 이론(theory of everything)’이 될 가능성이 크기 때문이다

 

현재 우리가 알기로는 이 자연계에는 4가지의 힘이 존재한다. 뉴턴의 만유인력을 설명하는 중력, 맥스웰의 전자기 법칙을 설명하는 전자기력, 물질의 붕괴를 설명하는 약력, 그리고 핵의 구조를 설명하는 강력이 그것이다.

그런데 사실은 전자기 법칙이 나오기 전에는 전기와 자기는 완전히 다른 것으로 생각됐다. 이 서로 다른 전기와 자기 현상을 1867년 맥스웰이 하나의 이론인 전자기이론으로 통일함으로써 통일장이론의 가능성을 증명했다.

그후 1923년 칼루자가 중력과 전자기력을 5차원 중력이론으로 통합할 수 있다는 것을 보여주는 칼루자-클라인이론을 만들었다.

 

1980년대 ‘모든 것의 이론(Theory of Everything)’이라고 알려지며 중력을 포함한 모든 힘의 강력한 통일이론으로 주목받기 시작한 것이 바로 초끈 이론이다.

전기	전자기력	전자기약력	대통일장이론 (GUT)	모든 것의 이론 (TOE)
자기
약력
강력
중력

[상호작용의 통일 ]

 

 

일찍이 칼루자는 아인슈타인의 일반상대성 이론을 5차원으로 확장하면서 우리가 다섯 번째 차원을 볼 수 없는 이유를 다음과 같이 설명했다.

 

여기 아주 길고 가는 원통이 있는데, 그 단면은  아시다시피 2차원의 면이다. 그러나 이 원통을 아주 먼 거리에서 보게 되면 더 이상 원통으로 보이지 않고 마치 1차원의 선처럼 보인다. 즉, 원통이 워낙 작기 때문에 원통을 볼 수 없는 것이다. 마찬가지로, 기존의 x,y,z와와 시간외 다섯 번째 차원도 아주 작은 공간에 이 원통처럼 말려 있어서 우리가 보지 못한다는 것이다.

 

[숨겨진 차원]

 

[Kaluza-Klein Theory>

 

In 1919, 4 years after Einstein formulated the field equations for gravity, German mathematician Theodr Kaluza came up with a bold new idea by taking this idea of adding dimensions a step further. Kaluza wrote down Einstein's gravity field tensor in 5 dimensions. He then broke up the tensor into two parts; one part would be Einstein's original equation in 4-dimensions and the left over portion turned out to be Maxwell's field equations for electromagnetism. Without having been put into the tensor, Maxwell's equations emerged, as if by magic. By adding a 5th-dimension, Kaluza unified in one stroke Einstein's theory of gravity with Maxwell's theory of electromagnetism.⁵ 

 

However, since our universe obviously has 4 dimensions (3 spatial and one temporal), people were troubled by this extra 5th-dimension. Oskar Klein, a German mathematician, offered an explanation; the 5th dimension could not be seen because it was much too small. It had curled up, or compactified. For example, picture a garden hose. From far away, it appears to be a line (one-dimensional), but upon closer examination, one finds that it is a tube (a 2-D surface curled up). Klein's idea was that the 5th dimension had curled up and we could never interact with it.

 

The Kaluza-Klein model was an intriguing one, but not a widely accepted one. For about half a century, the ideas of higher dimensions took a back seat in physics as other more exiting things were developing with the new quantum mechanic theory. ]

 

이와 똑같이 초끈 이론에서도 여분의 차원이 아주 작게 축소되어 미세한 영역에 말려 있기 때문에 우리 눈에 보이지 않는다고 설명한다. 그러나 이렇게 축소된 6차원 공간의 위상이나 기하 형태는 아직 결정되지 않았다. 과연 축소된 6차원의 공간은, 그리고 초끈은 어떤 형태를 하고 있을까?

 

신지학파들은 여기에 대한 해답을 아누(그들이 주장하는 물질의 궁극입자=초끈?)에서 찾는다.

 

[그들이 주장하는 궁극의 물질입자인 아누는 아래처럼 얼핏 보기로 나선구조로 되어 있다. 아누의 나선은 스파릴래의 구조로 되어있고, 이 스파릴래는 다시 그 다음 단계의 더 작은 스파릴래로 이루어지는데, 모두 여섯 차례나 이 과정이 반복되고 있으며, 아누는 원자핵보다도 1조 배의 1억 배나 작고 이를 통해서 이 4차원의 힘이 유입된다고 한다. 

 

[애드윈 배비트가 묘사한 아누의 모습]

끈 이론은 고차원을 포함하고 있다. 즉, 초끈이론의 확장인 M이론은 시공이 11차원으로 구성되어 있는 것으로 예견한다.  일곱 단계의 스파릴래를 좁은 공간에 말려들어간 일곱의 차원으로 보면 3차원 공간과 1차원 시간을 합하여 모두 11차원의 시공이 나오고, 이것은 M 이론이 예견하고 있는 차원수와 같다. 또, 초끈 이론의 한 모델은 스파릴래가 감겨있는 형태와 유사한 개념의 6차원 토러스 모델을 제시하고 있다

 

그리고 이것은 축소된 6차원 공간의 초기 모델 중 하나였던 6차원 토러스 모형과 매우 흡사다. 하버드의 쿰룸 바파가 제안한 이 6차원 토러스 모형에 따르면 각각의 차원은 1차원의 원이며, 초끈은 각각의 원형 차원의 주위를 몇 차례씩 감고 있는 것으로 묘사된다. 원 둘레를 나선이 감고 있으면 토러스 형태가 된다.

[원형 차원의 주위를 감고 있는 초끈]

아누의 각 스파릴래 역시 토러스의 표면을 감싸고 있는 형태로 되어있다. 제1차 스파릴래를 쭉 펴서 늘이면 긴 원의 주위를 돌고 있는 여러의 코일이 토러스 형태를 하고 있다. 제1차 스파릴래의 하나의 코일(스파릴라)은 그 다음 스파릴래를 위한 원형 차원이 되며, 이 원형 차원의 주위를 그 다음 차원에 속하는 제2차 스파릴래의 7개의 코일이 토러스 형태를 이루며 감고 있다. 이 과정이 제7차 스파릴래에 이를 때까지 여섯 번 반복이 되며, 각각의 스파릴래는 모두 이런 토러스 형태를 만들고 있다. 6차원 토러스 모델에서 각각의 차원은 모두 1차원의 원인데, 각각의 스파릴래는 완전히 쭉 펴서 늘이면 다름 아닌 이 1차원의 원형 끈이 되는 것을 알 수 있다.

 

 

[스파릴래의 구성]

또 6차원 토러스 모형에서 각 차원의 원형 끈들은 그 다음 차원의 원형 끈들과 수직을 이루고 있다. 아누 역시 각각의 스파릴래는 그 다음 차수의 스파릴래와 수직을 이루고 있으며, 리드비터도 이러한 사실을 언급한 적이 있다.

결국, 초끈의 6차원 토러스 모형은 아누의 구조와 놀라울 정도로 일치하고 있는 것을 알 수 있다. 둘 다 모두 닫혀 있는 1차원의 끈으로 되어 있다는 점, 모두 6개의 원형 차원 주위를 그 다음 차원의 끈이 토러스 형태를 이루며 감기어 있다는 점, 그리고 이 원형 차원들은 서로 수직을 이루고 있다는 점 등이 지적할 수 있는 공통점이다.

 

초끈 이론은 고차원을 포함하고 있다. 그런데 흥미롭게도 일곱 단계의 스파릴래를 좁은 공간에 말려들어간 일곱의 차원으로 보면 3차원 공간과 1차원 시간을 합하여 모두 11차원의 시공이 나오고, 이것은 M 이론이 예견하고 있는 차원수와 같다. 게다가 초끈 이론의 한 모델은 스파릴래가 감겨있는 형태와 유사한 개념의 6차원 토러스 모델을 제시하고 있어, 아누가 초끈에 해당한다는 확신을 한층 더 강하게 심어준다. ]

 

이것은 단순한 우연일까? 그들은 이렇게 반문한다.

 

 

제과점에서나 접하기 쉬운 과자, 애들 수영튜브 정도로만 보아왔던 토러스, 그 기하학에 이런  엄청난 含意(?)가!  설명대로라며는 모든 것의 含意, 만물를 설명하는 含意를 담고 있다는 것이 아닌가? 

 

어째 뱀이 또아리트는 것처럼 보이는 토러스의 꽈배기 영상(?)이  그럴사 그러한지 여간 예사롭게 보이지 않는다.