밑에 그림에 보이는 수식은 수학이나 물리학에서 자주 볼 수 있는 제타 함수(zeta function)입니다.
함수에 어떤 수를 넣으면 다른 값을 뱉어내는데요, 이 두 값이 아마 일반 교재에서 가장 자주 나오는 예시일 것입니다.
리만 제타 함수 (Riemann Zeta Function) & 리만 가설
1859년, 리만(Riemann)이라는 수학자는 복소수를 대입하는 경우를 고려했는데요 s의 실수부가 1보다 크면 함수가 수렴한다는 것을 발견합니다. 그러면서 리만은 복소 해석학을 이용해 이 제타 함수를 실수부가 1보다 큰 영역과 작은 영역으로 나누어 정의를 합니다.
GRANT REMMEN, HARRISON TASOFF
영역이 확장되자 특정 값을 집어넣으면 함숫값이 0이 나오는 경우가 발생했습니다. 그중에는 -2, -4, -6 같은 음수인 짝수가 있지만 얘네들은 자명한 근(trivial zero)이라고 불리며 이름처럼 수학자의 안중에도 없습니다. 재미있는 값들은 0과 1사이에 있는데요 나머지 근들은 모두 실수부가 1/2인 선 위에 위치합니다.
마지막 문장이 바로 유명한 난제인 리만 가설입니다. 소수의 분포와도 연관이 있는 만큼 매우 중요하면서도 최고난도의 문제입니다. 그리고 이번에 UC Santa Barbara의 물리학자 Grant Remmen는 이 난제를 색다르게 접근했습니다. (이름이 리만과 비슷한 거 보면 어쩌면 진짜로...)
Quanta Magazine
원래 Remmen은 양자 중력, 블랙홀, 끈 이론 같은 이론 물리학을 다루며 양자장론을 주로 연구합니다. 양자역학과 특수상대성 이론을 합친 이 분야는 입자가 빛의 속도에 가깝게 움직일 경우를 다루며 20세기 물리학의 최대 업적이라고도 불릴 정도로 정확한 예측을 합니다.
양자장론과 (Quantum Field Theory) 리만 제타 함수
Remmen은 이 이론에서 사용하는 개념이 리만 제타 함수와 많이 유사하다는 것을 발견합니다. 바로 산란 진폭 (scattering amplitude)인데요 입자들이 서로 작용할 확률을 다루는 개념입니다.
산란 진폭에서는 운동량이 복소수인 경우를 다룹니다. 또한 이 진폭들은 특정한 점들 외에 지점에서 급수로 표현될 수 있는 특징을 지닙니다. 이 특정한 점들은 입자가 생성되는 것과 연관 있으며 점에서의 값은 생성된 입자의 질량을 나타냅니다.
놀라운 것은 리만 제타 함수의 근처럼 그 점들은 모두 동일한 선 상에 놓여있습니다. 그럼 뭘 해야 될까요? 바로 산란 진폭 같으면서 리만 제타 함수의 근에 해당하는 특수점들을 가지는 함수를 찾아야 합니다.
GRANT REMMEN, HARRISON TASOFF
방향을 확신한 Remmen은 일주일 만에 함수를 찾았으며 몇 달 후에 함수의 특징을 완전히 파악하고 논문을 완성했습니다. Remmen의 결과는 질량이 없는 두 입자가 질량이 있는 무수히 많은 입자를 하나씩 주고받으며 작용하는 시스템을 설명하며 질량을 나타내는 무한개의 특수한 점들은 리만 함수의 근과 선을 이루었습니다.
리만 가설 해결?
그럼 리만 가설은 풀린 걸까요? 최종적으로 리만 가설은 Remmen의 모형에서 다음과 같이 서술됩니다: 진폭의 특수점들, 즉 질량들이 허수가 아닌 실수이면 리만 가설은 증명된다. 이 외에도 Remmen은 리만 함수의 몇 가지 특징들을 양자장론 개념과 대응시키기도 했습니다.
전환된 문제가 더 어렵거나 쉬워 보이는 것을 떠나 이는 엄청난 결과입니다. 왜냐하면 전환된 분야의 도구를 이용해 문제를 상대할 수 있기 때문입니다.
GRANT REMMEN
관점을 바꾸어 물리학으로 수학 문제를 해결하는 방법은 굉장히 강력한 도구이며 과거에도 있었습니다. 예를 들어 1968년, Gabriele Veneziano는 오일러 베타 함수를 산란 진폭으로 해석해 끈 이론 진폭을 발견하기도 했었습니다.
물리학을 이용한 것은 아니지만 페르마의 마지막 정리도 역시 이와 유사하게 문제 자체를 다른 시선으로 바라보아서 해결된 것이므로 리만 가설이 진짜로 풀리는 역사적인 순간을 맞이하게 될지 기대가 됩니다.
https://www.news.ucsb.edu/2022/020520/quantum-zeta-epiphany 내용
양자 제타 주현절
Remmen의 산란 진폭(그림)은 리만 제타 함수를 양자장 이론의 언어로 번역합니다.
그랜트 렘멘
π, e 및 φ와 같은 숫자는 종종 과학과 수학의 예기치 않은 위치에서 나타납니다. 파스칼의 삼각형과 피보나치 수열도 자연에서 설명할 수 없을 정도로 널리 퍼져 있는 것처럼 보입니다. 다음은 19세기 이후로 수학자들을 난처하게 만든 믿을 수 없을 정도로 간단한 함수인 Riemann 제타 함수입니다. 가장 유명한 난제인 리만 가설은 아마도 수학에서 가장 풀리지 않은 문제일 것입니다. Clay Mathematics Institute는 올바른 증명에 대해 100만 달러의 상금을 제공합니다.
UC 산타바바라 물리학자 그랜트 레멘(링크는 외부입니다)그는 제타 함수의 단점을 탐구하기 위한 새로운 접근 방식을 가지고 있다고 믿습니다. 그는 많은 기능의 중요한 속성을 양자장 이론으로 변환하는 유사체를 발견했습니다. 이것은 연구자들이 이제 이 물리학 분야의 도구를 활용하여 불가사의하고 기이하게도 보편화된 제타 함수를 조사할 수 있음을 의미합니다. 그의 연구는 리만 가설의 증명으로 이어질 수도 있습니다. Remmen은 Physical Review Letters 저널에서 자신의 접근 방식을 제시합니다.(링크는 외부입니다).
UCSB의 Kavli 이론 물리학 연구소의 박사후 연구원인 Remmen은 “리만 제타 함수는 정수론에 등장하는 이 유명하고 신비한 수학적 함수입니다. “150년 넘게 연구되어 왔습니다.”
외부 관점
Remmen은 일반적으로 수학에서 가장 큰 문제를 푸는 데 사용하지 않습니다. 그는 보통 물리학에서 가장 큰 문제를 푸는 데 몰두합니다. UC Santa Barbara의 기초 물리학 펠로우로서 그는 일반적으로 입자 물리학, 양자 중력, 끈 이론 및 블랙홀과 같은 주제에 관심을 기울입니다. 그는 “현대 고에너지 이론에서 가장 큰 규모와 가장 작은 규모의 물리학은 둘 다 가장 깊은 신비를 품고 있다”고 말했다.
그의 전문 분야 중 하나는 양자장 이론으로 그는 이를 "20 세기 물리학 의 승리"라고 묘사합니다 . 대부분의 사람들은 양자 역학(아원자 입자, 불확실성 등)과 특수 상대성 이론(시간 팽창, E=mc 2 등)에 대해 들어본 적이 있습니다. "그러나 양자장 이론을 통해 물리학자들은 특수 상대성 이론과 양자 역학을 결합하여 빛의 속도로 또는 그 근처에서 움직이는 입자가 어떻게 행동하는지 설명하는 방법을 알아냈습니다."라고 그는 설명했습니다.
양자장 이론은 정확히 하나의 이론이 아닙니다. 과학자들이 입자 상호 작용 세트를 설명하는 데 사용할 수 있는 도구 모음에 가깝습니다.
Remmen은 개념 중 하나가 Riemann 제타 함수와 많은 특성을 공유한다는 것을 깨달았습니다. 이를 산란 진폭이라고 하며 입자가 서로 상호 작용할 양자 역학 확률을 인코딩합니다. 그는 흥미를 느꼈다.
산란 진폭은 종종 복소수인 운동량에서 잘 작동합니다. 이 숫자는 실수부와 허수부로 구성됩니다. √ -1 의 배수이며 수학자들은 이를 i 라고 부릅니다 . 산란 진폭은 복잡한 평면에서 좋은 속성을 가지고 있습니다. 하나는 선을 따라 놓여 있는 선택된 극 세트를 제외한 모든 점에 대해 분석적(시리즈로 표현될 수 있음)입니다.
Remmen은 “이는 Riemann 제타 함수의 0에서 일어나는 일과 비슷해 보였습니다. 이 0은 모두 한 줄에 놓여 있는 것처럼 보입니다.”라고 말했습니다. "그래서 나는 이 겉보기 유사성이 진짜인지 여부를 결정하는 방법에 대해 생각했습니다."
zeta 함수는 모든 컬러 포인트를 0으로 매핑합니다. 중요하지 않은 0(빨간색)은 모두 숫자의 실제 구성 요소가 1/2인 선에 있는 것처럼 보입니다.
사진 제공: 그랜트 렘멘, 해리슨 태소프
산란 진폭 극은 운동량이 있는 입자를 생성하는 물리적 이벤트가 발생하는 입자 생성에 해당합니다. 각 극의 값은 생성된 입자의 질량에 해당합니다. 따라서 산란 진폭처럼 작동하고 극점이 제타 함수의 중요하지 않은 0에 해당하는 함수를 찾는 것이 문제였습니다.
결과를 확인하기 위해 펜, 종이 및 컴퓨터를 사용하여 Remmen은 모든 관련 속성을 가진 함수를 고안하는 작업에 착수했습니다. "나는 몇 년 동안 마음 한구석에 있는 진폭에 리만 제타 함수를 연결하는 아이디어를 가지고 있었습니다."라고 그는 말했습니다. “이러한 기능을 찾기 시작하면 구성하는 데 약 일주일이 걸렸고, 그 속성을 완전히 탐색하고 논문을 작성하는 데 몇 달이 걸렸습니다.”
믿을 수 없을 정도로 단순하다
핵심에서 제타 함수는 고조파 시리즈를 일반화합니다.
이 급수는 x ≤ 1일 때 무한대로 폭발 하지만 x > 1일 때마다 실제 숫자로 수렴합니다 .
1859년 베른하르트 리만은 x 가 복소수 일 때 어떤 일이 일어날지 고려하기로 결정했습니다 . 이제 Riemann zeta라는 이름이 붙은 이 함수는 하나의 복소수를 취하고 다른 복소수를 내보냅니다.
Riemann은 또한 제타 함수를 두 부분으로 정의하여 실수 구성요소가 1보다 크지 않은 숫자로 확장하기로 결정했습니다. 무한대까지.
복잡한 분석의 정리 덕분에 수학자들은 이 새로운 영역에 대해 원래 함수의 속성을 원활하게 보존하는 공식이 단 하나라는 것을 알고 있습니다. 불행히도, 아무도 그것을 유한하게 많은 용어를 가진 형태로 표현할 수 없었습니다. 이것은 이 기능을 둘러싼 미스터리의 일부입니다.
기능의 단순성을 감안할 때 몇 가지 멋진 기능이 있어야 합니다. Remmen은 "하지만 이러한 속성은 이해하기가 엄청나게 복잡해집니다."라고 말했습니다. 예를 들어, 함수가 0인 입력을 취하십시오. 모든 음수 짝수는 0에 매핑되지만 제타 함수가 특정 형식으로 작성될 때 이것이 명백하거나 수학자들이 말하는 "사소한" 것입니다. 수학자들을 난처하게 만든 것은 사소하지 않은 다른 모든 0이 선을 따라 놓여 있는 것처럼 보인다는 것입니다. 각각의 실수 구성요소는 ½입니다.
zeta 함수는 이전 이미지의 회색 선을 이 곡선으로 변환합니다. 각 빨간색 점은 이 곡선이 원점(0,0)을 통과하는 지점입니다.
사진 제공: 그랜트 렘멘, 해리슨 태소프
Riemann은 이 패턴이 이러한 중요하지 않은 모든 0에 적용된다고 가정했으며 그 중 처음 몇 조에 대해 추세가 확인되었습니다. 그렇긴 하지만, 수조 개의 예에 대해 작동한 다음 매우 많은 수에서 실패하는 추측이 있습니다. 따라서 수학자들은 가설이 입증될 때까지 가설이 참인지 확신할 수 없습니다.
그러나 그것이 사실이라면 리만 가설은 광범위한 의미를 갖습니다. Remmen은 "여러 가지 이유로 수학의 근본적인 질문에서 도처에서 나타납니다."라고 말했습니다. 계산 이론, 추상 대수학 및 숫자 이론과 같이 별개의 분야에서 가정은 사실을 유지하는 가설에 달려 있습니다. 예를 들어, 그것을 증명하면 소수의 분포에 대한 정확한 설명을 제공할 것입니다.
물리적 아날로그
Remmen이 발견한 산란 진폭은 한 번에 하나씩 무한대의 거대한 입자 세트를 교환하여 상호 작용하는 두 개의 질량 없는 입자를 나타냅니다. 함수에는 각 중간 입자의 질량에 해당하는 극점(급수로 표현할 수 없는 지점)이 있습니다. 함께 무한 극은 리만 제타 함수의 중요하지 않은 0과 정렬됩니다.
Remmen이 구성한 것은 상호 작용의 주요 구성 요소입니다. 한 번에 여러 개의 거대한 입자 교환을 포함하는 프로세스를 설명하는 상호 작용의 점점 더 작은 측면을 각각 설명하는 것이 무한히 많습니다. 이러한 "루프 수준 진폭"은 향후 작업의 주제가 될 것입니다.
리만 가설은 제타 함수의 사소한 0이 모두 ½의 실수 성분을 갖는다고 가정합니다. 이것을 Remmen의 모델로 변환: 진폭의 모든 극점은 실수입니다. 이것은 누군가가 그의 기능이 일관된 양자장 이론, 즉 질량이 허수가 아닌 실수인 이론을 설명한다는 것을 증명할 수 있다면 리만 가설이 증명될 것임을 의미합니다.
이 공식은 리만 가설을 수학자에게 제공할 강력한 도구를 갖춘 과학 및 수학의 또 다른 분야로 가져왔습니다. "리만 가설과 이러한 관계가 있을 뿐만 아니라 산란 진폭에서 물리적인 것에 해당하는 리만 제타 함수의 다른 속성 전체 목록이 있습니다."라고 Remmen이 말했습니다. 예를 들어, 그는 물리학의 방법을 사용하여 제타 함수와 관련된 직관적이지 않은 수학적 정체성을 이미 발견했습니다.
Remmen의 연구는 수학적 난제를 밝히기 위해 물리학을 찾는 연구자들의 전통을 따릅니다. 예를 들어, 물리학자 Gabriele Veneziano는 1968년에 비슷한 질문을 했습니다. 오일러 베타 함수가 산란 진폭으로 해석될 수 있는지 여부입니다. Remmen은 "실제로 가능합니다. 그리고 Veneziano가 구성한 진폭은 최초의 끈 이론 진폭 중 하나였습니다."라고 말했습니다.
Remmen은 이 진폭을 활용하여 제타 함수에 대해 더 많이 배우기를 희망합니다. “이 모든 유사점이 있다는 사실은 여기에 무슨 일이 일어나고 있다는 것을 의미합니다.”라고 그는 말했습니다.
그리고 이 접근 방식은 수세기 전의 가설을 증명할 수 있는 경로를 설정합니다. Remmen은 "이 진폭이 합법적인 양자장 이론에서 비롯되었음을 증명하는 데 필요한 혁신은 자동으로 제타 함수를 완전히 이해하는 데 필요한 도구를 제공할 것"이라고 말했습니다. "그리고 그것은 아마 당신에게 더 많은 것을 줄 것입니다."
리만 제타 함수에 대한 물리적 일치
1859년에 Bernhard Riemann은 제타라는 새로운 수학 함수를 도입했으며 그 속성이 소수의 간격과 깊은 관련이 있음을 보여주었습니다. 그는 또한 함수의 출력이 0인 특정 경우에 입력의 실수부가 1/2임을 보여주었습니다. 그는 nontrivial root로 알려진 이러한 입력이 항상 1/2과 같은 실수부를 갖는지 여부를 물었습니다. 이 질문은 수학자들이 아직 모호하게 대답하지 않은 질문(Riemann 가설)입니다. 이제 캘리포니아 대학교 산타 바바라에 있는 Kavli 이론 물리학 연구소의 Grant Remmen은 양자 시스템의 물리량을 리만 제타 함수의 수학적 특징에 매핑하는 방법을 제안했습니다 .]. 그러한 시스템이 존재한다는 것을 증명하는 것은 리만 가설과 다른 많은 수학적 추측에 답하는 경로를 제공할 것입니다.
Remmen은 충돌하는 양자 입자 시스템을 고려했습니다. 그는 산란 과정에서 에너지, 운동량 및 궤적을 설명하는 변수로 입자를 설명했습니다. 이러한 변수를 사용하여 그는 제타 함수를 기반으로 하는 수학 함수를 만들었습니다. 그는 그의 구조가 물리적 진폭의 모든 특징을 가지고 있음을 보여주었습니다. 즉, 주어진 충돌에서 특정 입자 집합이 생성될 확률을 인코딩하는 매트릭스입니다. 이러한 특징에는 양자 역학의 지역성과 단일성이 포함됩니다. Remmen 진폭의 경우 특징 특징은 리만 제타 함수의 수학적 특징에 매핑됩니다. 예를 들어,
– 레이첼 버코위츠
Rachel Berkowitz는 캐나다 밴쿠버에 거주 하는 물리학 편집자입니다.
연락처 정보:
해리슨 태소프
(805) 893-7220
harrisontasoff@ucsb.edu
댓글